Di googleplex, di tetrazioni, del numero di Graham e della loro inutilità per misurare l'Universo: "... più uno!..."

 L'avanzata del sapere va di pari passo con la necessità di disporre di numeri sempre più grandi, dando loro un nome che ce li renda immediatamente "familiari".

Indicare una grandezza con una espressione tipo "miliardi di miliardi" - od anche l'uso di notazioni esponenziali quali 10^12 - non ci fa sentire bene quanto esprimerla con termini entrati oramai nell'uso comune quali ad esempio lo sono Mega, Giga, Tera e così via (1).

Il nostro universo si stima sia nato 13,8 miliardi di anni fa, una grandezza che espressa in secondi è pari circa a 435 milioni di miliardi.
La misura del suo attuale diametro (limitato all'universo osservabile) è ritenuta esser circa 93 miliardi di anni luce, e cioè all'incirca 900.000 miliardi di miliardi di km, pari a 900^21 metri.
Il numero totale di atomi presenti in tutto l'universo è stimato pari a 10^80 (2).

Il nostro corpo è composto da 30.000 miliardi di cellule (3 x 10^13) delle quali fanno parte 86 miliardi di neuroni che danno luogo a 100.000 miliardi di sinapsi.

Estrarre il DNA da tutte le cellule del nostro corpo srotolandolo ed unendone i capi permetterebbe di creare un nastro lungo 60 miliardi di Km (6 x 10^13 metri).

Su internet vengono scambiate ogni giorno 20 miliardi di miliardi di bit di informazione (2 x 10^19 bit).

La leggenda persiana vuole che l'inventore del gioco degli scacchi avesse chiesto come ricompensa "un chicco di riso per la prima casella, due per la seconda, 4 per la terza e così via sino alla 64° casella".
Si tratta cioè di sommare le potenze di 2 dalla 0 sino alla 63esima.
Il risultato è pari a (2^64) - 1, e cioè circa 18 miliardi di miliardi di chicchi di riso (18 x 10^18), un numero pari all'attuale produzione mondiale di riso moltiplicata per 1000.

Nel 1920 il matematico americano Edward Kasner, docente alla Columbia University di NYC, passeggiava nel parco New Jersey Palisades con i due nipotini, Edwin e Milton Sirotta.
Affascinato dalla "cifra tonda" che la potenza 10^100 esprime, chiese aiuto ai ragazzi per "battezzarla" con un nome che fosse "simpatico".
Milton, il più piccolo dei due, aveva 9 anni e leggeva i fumetti: colse l'occasione di proporre il nome del suo personaggio preferito, Barney Google.
Lo zio, inesperto del campo, pensò che Google si scrivesse "Googol" (il suono di tali notazioni è quasi identico in lingua inglese), e così da allora Googol indicò 10^100.
Un numero decisamente maggiore dei chicchi di riso sulla scacchiera!

Luis Borges, famoso scrittore argentino, nel racconto "La biblioteca di Babele" descrive ogni libro in essa contenuto come sequenza di 1.312.000 simboli, e cioè di caratteri che possono essere di 25 specie diverse: le 22 lettere dell'alfabeto insieme allo spazio, al punto ed alla virgola.
Poiché dichiara la biblioteca contenere tutti quanti i libri che è possibile scrivere combinando tali caratteri, ne consegue che il loro numero sia pari a  25^1312000, valore che possiamo trasformare in 10^1834097.
Si tratta di un numero formato da un 1 seguito da quasi due milioni di zeri.
E' stato definito come "il numero di Borges", e risulta enormemente più grande di un googol.

Se confrontiamo questo valore con il numero degli atomi contenuti nel nostro universo (10^80), vediamo che - anche qualora fosse possibile concentrare ogni libro in un singolo atomo - la dimensione dello spazio necessario a memorizzare l'intera biblioteca farebbe apparire quella dell'universo osservabile davvero minuscola (3).

Nel dicembre 2018 il progetto Great Internet Mersenne Prime Search annuncia la scoperta di un numero primo (di Mersenne) paria a:

   (2^82589933) - 1

Si tratta di un numero che scritto in notazione decimale conta più di 24 milioni di cifre: oltre dieci volte il numero di cifre necessarie a scrivere il numero di Borges.


Quasi un secolo prima, nel 1922, James Joyce pubblica "Ulysses" dove al capitolo 17 (Itaca) il protagonista Leopold Bloom riflette su uno strano numero formato da una doppia potenza:
    
   9^9^9

e cioè 9 elevato a 9 elevato a 9.
Potrebbe sembrar incredibile, ma scrivere in notazione decimale questo numero richiede l'utilizzo di 369 milioni di cifre (4)

Ancora una volta è il piccoletto Milton Sirotta a battezzare un numero costruito in modo simile: il googolplex e cioè il valore ottenuto elevando 10 ad un googol:    

    10^10^100

In tutto l'universo non c'è abbastanza spazio per scriverne tutte le 10^100 cifre (ricordiamo che il numero totale degli atomi dell'universo si ferma a 10^80).

Edward Kasner introdusse i due termini - "googol" e "googol plex" - nel saggio divulgativo "Matematica e immaginazione" dato alle stampe nel 1940.
Tuttavia il merito di render questi ultimi davvero "pop" è soltanto di Charles M. Schulz, autore delle magnifiche strips "Peanuts".
Nella terza vignetta della striscia del 23 gennaio 1963 compare un googol con tutti i suoi cento zeri che seguono l'1 iniziale: Schroeder, interrogato in merito da Lucy, le risponde che la probabilità che loro due si sposino è pari a uno contro un googol.
Alla richiesta di esser più esplicito, Schroeder srotola l'intero numero nella vignetta successiva.

Nel 1997 Larry Page e Sergey Brin, su suggerimento di Sean Anderson loro compagno all'università di Stanford, decisero di dare il nome di Googol al motore di ricerca che avevano appena progettato.
Tale nome doveva funger da richiamo all'immenso numero delle informazioni che il motore avrebbe dovuto scandagliare.
Purtroppo il dominio" googol" era già registrato ed allora la scelta ripiegò su Google.

Naturalmente nulla vieta di passare dalla doppia potenza (n elevato ad n) alla tripla potenza (n elevato ad n elevato ad n), alla quadrupla, e così via.

Tale operazione è definita "tetrazione".

L'espressione 10^10^10^10^10 si legge "10 tetratto 5" oppure "10 torre 5" e si può scrivere in due modi:
- 10^^^^10          (5)
- oppure si mette un 5 (cioè  quante volte dobbiamo elevare a 10 ) come esponente, ma PRIMA del numero 10.
 
Il numero di Joyce si può quindi scrivere in due modi: un esponente 3 davanti al numero 9, oppure 9^^3.

Attraverso la tetrazione il matematico polacco Hugo Steinhaus ha costruito alla fine degli anni 70 un nuovo numero colossale: il megistone ⑩ che è pari a:   

    ((10^10)^^10)^^10


Nel guinness dei primati il numero di Graham - indicato con "G" - è descritto come "il più grande numero cui sia stato assegnato un nome", cosa verificatasi in virtù del fatto che intervenga nella dimostrazione di un teorema di teoria dei grafi (6).
Anche ipotizzando di essere in grado di immagazzinare un bit in un singolo volume di Planck, lo spazio necessario per racchiudere tale numero risulta enormemente superiore a quello dell'intero universo conosciuto.

Vediamo come si arriva a "G".
Partendo dal concetto di "tetrazione ricorsiva" (m^^^n), scriviamo "3^^^3".
Significato di questa espressione è 3 elevato alla terza per ben 7600 miliardi (circa) di volte.

Definiamo:
"g1" il numero 3^^^^3
"g2" il numero 3 seguito da tanti "^" quanti indicati dal numero g1
"g3" il numero 3 seguito da tanti "^" quanti indicati dal numero g2

... e procediamo così ben 64 volte!

G (numero di Graham) = g 64

Pur non esistendo abbastanza spazio in tutto l'universo per scrivere "G" in notazione decimale, sappiamo tuttavia quali sono le sue ultime 10 cifre: …2464195387.


... ed oltre G?

Esistono numeri cui è stato dato un nome ancora più grandi di "G" ma vengono in genere utilizzati soltanto da chi si occupa di calcolo combinatorio: ad esempio i matematici che lavorano sull' algoritmo di Kruskal usano numeri di una tale grandezza che fanno sembrare "G" addirittura minuscolo!


Per concludere questa breve rassegna, si noti che caratteristica dei grandi numeri è l'inutilità: scienziati quali astronomi, fisici e data scientists non li usano perché sproporzionati alle grandezze di cui si occupano.
Neppure i numeri primi più grandi, scoperti di recente, sono (ora) utili: sono infatti troppo "ingombranti" per gli algoritmi di sicurezza informatica.

Ciò che accomuna queste enormità è una vertiginosa bellezza intrinseca, che affascina esperti del campo insieme a neofiti: l'idea di procedere verso qualcosa di sempre più grande è forse insita nella nostra stessa natura, ed il solo immaginare e dare un nome a "qualcosa di inimmaginabile" è un successo per la curiosità che tutti quanti ci accomuna.





Note:

(1) Un terabyte corrisponde a mille gigabyte, a un milione di megabyte ed a un bilione (mille miliardi) di byte: 1 TB = 10^3 GB = 10^6 MB = 10^12 byte.

(2) Tale valore è ottenuto stimando la presenza di 2.000 miliardi di galassie, 70.000 miliardi di miliardi di stelle, e così via.

(3) La teoria dell'inflazione ci informa che l'universo osservabile (aree dalle quali la luce ha fatto in tempo a raggiungerci il oltre 13 miliardi di anni) sia solo una porzione minuscola dell'universo creatosi al momento del Big Bang .
Dunque - forse - se considerassimo tutto l'universo creato dal Big Bang allora potremmo trovare una corrispondenza tra il numero dei libri della biblioteca di Borges e quello degli atomi.

(4) Oppure di 200 volumi composti da mille pagine ciascuno.

(5) Il simbolo matematico è una freccia con la punta in su, la Notazione a frecce di Knuth; non è possibile realizzarla con la tastera del PC.

(6) Il problema matematico che ha portato alla definizione del numero di Graham è un particolare caso della teoria di Ramsey, soprannominato "problema di Graham", la cui soluzione non è nota.
Ronald Graham e Bruce Lee Rothschild nel 1971 dimostrarono che il numero di Graham indica il limite massimo dell'intervallo in cui si possono trovare le soluzioni di tale problema (limite minimo è 6).

Ho trattato questo argomento anche nel post:

https://davidemolinapersonale.blogspot.com/2021/02/le-ragioni-dello-scetticismo-di-una.html