Un po' di matematica e fisica - che forse non conoscete - alla base dei sistemi di navigazione satellitare.

L'enorme diffusione dei navigatori satellitari, applicazione preinstallata su ogni smartphone in circolazione, è conseguenza del completamento e della messa in opera del progetto GPS (Global Positioning System), al cui sviluppo si dedicò sin dal 1973 il dipartimento della difesa USA, quale miglioramento dei precedenti sistemi di navigazione (1)

Figlio, come lo è stato Internet, di un progetto militare degli anni '60 (2), GPS aveva lo scopo di garantire alle forze armate la possibilità di "fare velocemente il punto" ed eventualmente "taggare" obiettivi militari sui quali convergere.


In origine era prevista la messa in orbita di una costellazione di 24 satelliti (oggi il loro numero è salito a 31), il primo dei quali - un prototipo - fu lanciato nel 1978.
Il sistema diventò completamente operativo soltanto 15 anni dopo, nel 1993.
Nel frattempo un ordine esecutivo del presidente Ronald Reagan del 1983 rese il GPS disponibile ad usi civili, pur se in una forma che garantisse meno precisione nelle localizzazioni.

Il rilascio gratuito del servizio GPS a "tutti i cittadini del mondo" è stato tuttavia graduale.

Nel 1991 gli USA offrirono per usi civili un servizio - basato sul segnale dei satelliti GPS - denominato SPS (Standard Positioning System) con specifiche differenziate rispetto al PPS (Precision Positioning System), quest'ultimo riservato alle sole forze militari.

Il segnale civile, intenzionalmente degradato (3), consentiva una precisione nell'ordine di 900–950 m.

Una decina di anni dopo, nel mese di maggio del 2000, un decreto del presidente Bill Clinton disabilitò il sistema di degradazione del segnale permettendo così l'attuale grado di precisione (che è nell'ordine della decina di metri).

Al momento il sistema GPS è in fase di aggiornamento (4).

Prima di passare alla descrizione del funzionamento del sistema GPS - ed alle sue basi matematiche e fisiche - è opportuno ricordare che non si tratta dell'unico sistema di posizionamento satellitare, e neppure del più performante.

Ecco una breve rassegna dei suoi concorrenti e la loro storia:

- GLONASS (Global'naja Navigacionnaja Sputnikovaja Sistema, GLObal NAvigation Satellite System) è la controparte russa del GPS, ed è gestito dalle Forze Spaziali Russe (VKS).
Il sistema si basa su una rete di satelliti lanciati tra il 1982 ed il 1995.
La crisi seguita al crollo dell'URSS determinò un lungo periodo in cui il servizio si presentava degradato: parecchi satelliti della rete divennero inattivi e non furono prontamente sostituiti.

Solo dal 2012 tornò la piena operatività con la garanzia di una precisione pari a 2,8 metri.
Dal 2011 iniziarono ad esser installati ricevitori satellitari GPS+Glonass su parecchi beni di consumo, quali ad esempio l'iPhone 4S, Samsung Galaxy, Nokia e diversi altri.

La costellazione comprende 31 satelliti Uragan disposti su tre piani orbitali ad una quota di 19100 km (inferiore a quella dei satelliti GPS) che compiono una rotazione ogni 11 ore e un quarto, in modo che siano sempre visibili contemporaneamente almeno cinque di loro.

- BeiDou (“il mestolo del nord”) è il sistema cinese nato al fine di fornire una copertura regionale e successivamente implementato per garantire una copertura globale.
Riservato finora ad un uso militare, di recente ne è stata annunciata l'apertura all'uso commerciale.

BeiDou1, il cui primo satellite venne lanciato nel 2000, era una rete progettata per costituire un sistema di posizionamento regionale (la copertura riguardava solo il continente asiatico) composta da 4 satelliti in orbita geostazionaria: divenne operativa nel 2005.

E' in fase avanzata di sviluppo la rete BeiDou2, basata su 35 satelliti, che arriverà anch'essa ad offrire un servizio di posizionamento a livello globale.

Secondo le intenzioni del governo cinese il sistema offrirà due tipi di servizio: uno ad alta precisione (accuratezza pari a 10 centimetri,) ad uso militare per le forze armate cinesi e pakistane, ed uno aperto all'uso civile la cui accuratezza sarà pari a 10 metri (nell'ordine di quella garantita dal GPS).

- Galileo è un programma avviato nel maggio 2003 e costituisce il tentativo europeo di sottrarsi al "monopolio GPS", in mano alle forze armate USA.

Nasce dall'accordo tra l'Unione europea (UE) ed Agenzia Spaziale Europea (ESA), quindi privo delle finalità militari che caratterizzano i sistemi precedentemente descritti.
Il progetto prevede il lancio di trenta satelliti, i primi dei quali sono stati messi in orbita a partire dal 2011, ed al momento è costituito da 26 satelliti.

Al progetto Galileo partecipano anche partner extraeuropei.

Suoi punti di forza:
- una maggior accuratezza nella geo-localizzazione degli utenti rispetto a quella fornita dal GPS,
- un aumento della copertura globale dei segnali inviati dai satelliti specie nelle regioni con latitudine maggiore di 75°,
- la garanzia di una disponibilità costante del segnale indipendentemente da scenari di guerra o scelte legate alle esigenze delle forze armate.

- NavIC ("marinaio" in hindi ed acronimo di NAVigation with Indian Constellation) è sistema di posizionamento satellitare regionale indiano il cui nome ufficiale è IRNSS (Indian Regional Navigational Satellite System).
Progettato nel 2006, è dotato di 7 satelliti ed è divenuto operativo nel 2016.
Fornisce la posizione con un'accuratezza di circa 10 metri sulla penisola indiana, precisione che si dimezza qualora ci si trovi sull'Oceano Indiano od in altre regioni vicine coperte dal segnale.

- QZSS (Quasi-Zenith Satellite System) - chiamato anche Michibiki dal nome dei satelliti che forniscono il segnale - è un progetto privato autorizzato dal Governo giapponese nel 2002 con lo scopo di fornire un servizio che consenta un aumento dell'accuratezza rispetto al GPS.
Si basa su una costellazione di 4 satelliti che forniscono una copertura regionale.
La sua completa operatività è stata raggiunta nel novembre 2018.
Nel 2016 il governo giapponese e l'Agenzia Spaziale Europea hanno siglato un accordo per integrare il QZSS nel sistema di posizionamento europeo Galileo.
Supporto al QZSS è stato introdotto in alcuni dispositivi commerciali già a partire dal 2015, tra cui l'iPhone 6s e successivi.

- Regno Unito: in seguito alla Brexit la Gran Bretagna si è trovata tagliata fuori dal progetto Galileo.
Di recente ha dichiarato la volontà di perseguire il posizionamento di una propria rete di satelliti al fine di offrire un servizio simile a quelli finora descritti.

Cosa sta alla base dei sistemi di posizionamento globali?

- una costellazione di satelliti che emettono un segnale temporale;

- stazioni di controllo a terra dei satelliti che controllano le orbite dei satelliti e la precisione dei loro orologi;

- ricevitori del segnale emesso, oggi così miniaturizzati ed economici da esser integrati nei nostri smartphones.

Esaminiamo il sistema GPS.

Alla base di ogni sistema di posizionamento satellitare ci sono orologi atomici imbarcati su satelliti che garantiscono una precisione estrema, corrispondente ad uno scarto di 4 nanosecondi al giorno (5/10^14).

Sebbene tale precisione appaia enorme, questo infinitesimo scarto provoca un errore di circa un metro al giorno: dunque, senza le adeguate correzioni, in poco tempo il segnale satellitare diverrebbe privo di utilizzo pratico.

Per compensare tale deriva le stazioni a terra provvedono a resettare periodicamente gli orologi in orbita.

I satelliti GPS seguono orbite quasi perfettamente circolari ad un'altezza dal suolo di circa 20.000 km, posizionati a gruppi di 4 equidistanti tra di loro lungo l'orbita descritta.

Ogni gruppo si muove su una delle 6 orbite poste su piani che incontrano l'equatore formando angoli di 55°, equidistanti tra di loro.

Il raggio scelto per l'orbita fa sì che il satellite raggiunga la posizione di partenza ogni 11 ore e 58 minuti: rispetto alla superficie terrestre, ciò significa che passerà due volte al giorno sullo stesso punto, ma nel tempo si assiste ad un lento spostamento.

Tale geometria delle orbite garantisce che in ogni momento si possano ricevere segnali da almeno 6 satelliti, qualunque sia la posizione del ricevitore sulla Terra.

Vedi qui animazione.

Ciascun satellite invia un segnale che contiene la misura del tempo al momento dell'emissione dello stesso: la differenza riscontrata con la misura del tempo al momento della ricezione del segnale da parte del dispositivo a terra permette una stima della distanza del satellite in quell'istante.

La triangolazione di questo dato con quello ricavato dagli altri 5 satelliti permette di fare il punto nello spazio (5)

Qual è la procedura per inviare segnali temporali?

Sembrerebbe un compito semplice - si invia un segnale radio all'interno del quale venga codificata la misura del tempo - ma non lo è affatto.

I satelliti GPS sono progettati per inviare sequenze binarie che non contengono ripetizioni, a meno di aspettare molto tempo.

Il ricevitore GPS confronta la stringa ricevuta con una prodotta in modo simile localmente: dal ritardo con cui compare la stessa stringa si deduce l'intervallo di tempo trascorso durante il quale il segnale ha viaggiato dal satellite ad esso.

 t(1)     t(2)   t(3)  istanti successivi

0001 0110 1110  sequenza prodotta dal navigatore a terra

1010 0001 0110  sequenza ricevuta dal navigatore ed inviata dal satellite

Da questo esempio di vede lo sfasamento temporale tra le due stringhe comparate dal navigatore.

Il ritardo temporale sarà pari a t(2) - t(1) e moltiplicando questo valore per la velocità della luce otteniamo la distanza stimata del satellite.

Ma come e soprattutto quali stringhe vengono generate?

Usando un generatore di numeri pseudocasuali (le funzioni random dei linguaggi di programmazione non coincidono con risultati stocastici quali quelli forniti dal lancio di una moneta) si ottiene un flusso di bit "quasi casuali" che viene combinato con altri dati necessari al GPS; si tratta di una tecnica definita "modulazione".

Il satellite trasmette dati ad una velocità pari a 50 bit al secondo che vengono combinati con il flusso di bit generato ad un ritmo superiore ad un milione di "chip" al secondo (6)

Nel segnale GPS sono inoltre incorporate (a frequenza più bassa) informazioni sull'orbita del satellite, sulle correzioni apportate al suo orologio ed altri fattori che influenzano lo stato del sistema.

Tale complessità è indispensabile per evitare che il ricevitore agganci altri segnali e confonda le misurazioni.

Tutti i satelliti GPS trasmettono sulla stessa frequenza; pertanto ognuno di essi è dotato di un proprio numero pseudocasuale al fine di evitare confusione tra i diversi segnali GPS captati dal ricevitore.

Essendo poi il codice pseudocasuale gestito dalla difesa USA, risulta impossibile ad un eventuale nemico inviare segnali spuri che confondano il ricevitore.

A quelle sinora esaminate dobbiamo aggiungere altre due fonti di errore che è necessario assolutamente correggere.

1) Le piccole variazioni orbitali: come anticipato, le orbite possono subire variazioni per effetto di cause contingenti (vento solare, espansione dell'atmosfera, effetti gravitazionali, ecc.).

Tali variazioni vengono misurate a terra dalla stazione che gestisce i satelliti; quest'ultima trasmette ai satelliti le correzioni che dovranno esser apportate al segnale inviato agli utenti, assicurando così la sincronizzazione con gli orologi atomici presenti presso il Naval Observatory US.

2) Due effetti relativistici di segno opposto:

- la Relatività Speciale (vedi trasformazioni di Lorenz) ci informa che la velocità cui si muovono i satelliti rispetto al suolo comporta una dilatazione del tempo misurato a terra.

L'orologio sul satellite quindi si muoverà più lentamente rispetto a quello posizionato al suolo, accumulando un ritardo pari a 7 microsecondi al giorno.

- la Relatività Generale ci suggerisce invece che allontanandoci dalla superficie della Terra il tempo scorra più velocemente.

Dunque l'orologio sul satellite funzionerà più velocemente rispetto a quello al suolo, guadagnando 45 microsecondi al giorno.

Sarà dunque necessario apportare una correzione pari al saldo tra questi due valori: 45 ms -7 ms = 38 ms.

Dovremo cioè "togliere" 38 microsecondi al giorno alla misura del tempo inviata dai satelliti.

Qualora non apportassimo questa correzione, noteremmo uno scostamento nella posizione stimata pari a 10 km al giorno.

Tale errore fu misurato sperimentalmente nel 1977, in occasione della messa in orbita del primo satellite GPS.

I navigatori satellitari sono un ottimo esempio di come una tecnologia raffinata basata su matematica avanzata possa riempire le nostre vite senza che se ne sia consapevoli.

La terza legge di Arthur C. Clarke recita "qualunque tecnologia sufficientemente avanzata è indistinguibile dalla magia", ed infatti solo una frazione infinitesima degli utilizzatori del GPS è in grado di capirne il funzionamento e padroneggiare la fisica e la matematica che ne sono alla base.

Naturalmente il GPS è solo uno tra i moltissimi oggetti di uso comune che incorporano tecnologie complesse delle quali neppure sospettiamo l'esistenza.

L'alternativa è tra esser semplici utilizzatori ignari oppure "farsi domande", esser curiosi, cercare di capire.

Asimov nella saga distopica "la Fondazione" racconta di intere civiltà che "persero le capacità di dominare la fusione nucleare" incamminandosi su un percorso a ritroso dello sviluppo che le avrebbe riportate ad un medioevo.

Solo fantasia?

Sono convinto di no.

Yuval Noah Harari in "21 lezioni per il XXI secolo" trova indizi per una tendenza che porterà ad una divisione in due razze della specie sapiens nel prossimo secolo.

Non è qui la sede per discuterne in dettaglio (ne ho trattato sul mio blog e Federico Rampini ha pubblicato nel giugno 2019 una mia analisi su "Estremo Occidente" di Repubblica).

In soldoni assisteremo sempre più ad una differenziazione tra chi saprà padroneggiare la scienza (e se ne avvantaggerà per migliorare il proprio "hardware" rendendolo "diverso" e "migliore" rispetto alle dotazioni standard fornite ad Homo Sapiens dall'evoluzione) e chi ne sarà un semplice utilizzatore, e col tempo diventerà "irrilevante" per la nuova società che si verrà a creare.

Il rimedio a questa deriva non può che essere l'informazione scientifica e la sua divulgazione per stimolare le nuove leve a crearsi competenze in campi che non possano esser colonizzati da sistemi esperti o IA.

Spero, con questi miei piccoli contributi, di partecipare - seppur molto marginalmente - ad un'azione che ritengo indispensabile per evitare il futuro preconizzato da Harari, un dovere da parte di chi possieda le competenze in materie scientifiche e tecnologiche.

Note:

(1) GPS sta per "Global Positioning System", a sua volta abbreviazione di NAVSTAR GPS (acronimo di NAVigation Satellite Timing And Ranging Global Positioning System)

Si tratta di un sistema di posizionamento e navigazione satellitare militare realizzato dal Dipartimento della Difesa statunitense (USDOD) operativo sin dal 1994.

Nato per integrare una serie di progetti classificati degli anni sessanta, sostituisce il sistema "Transit" precedentemente utilizzato per consentire a navi e sommergibili di determinare la propria posizione in mare in qualsiasi condizione meteorologica.

Transit, chiamato anche Navy Navigation Satellite System (NNSS) era costituito da un gruppo di 6 satelliti (una flotta di satelliti chiamati Oscar o Nova, realizzati dalla U.S. Navy) posti in orbite diverse.

Il primo di essi fu lanciato alla fine del '59 e divenne operativo poco tempo dopo.

Dal '67 Transit venne reso disponibile all'uso civile, lasciando definitivamente il posto al sistema GPS soltanto nel '94.

(2) Nome originale della rete Internet era Arpanet, ufficialmente un "progetto militare sviluppato al fine di evitare il collasso dell'infrastruttura delle telecomunicazioni in caso di attacco nucleare al suolo degli USA".

Ora, chi si immagini il ventennio che dagli anni '60 ci traslocò alla fine della prima guerra fredda popolato da laboratori segreti affollati da ricercatori controllati a vista dai militari ... rimarrà deluso!

Rimando alla lettura di un mio post "La vera storia delle origini di Internet: Arpanet ed i militari, un mito sfatato" pubblicato il 29/3/2019 sul blog "Fuori dalla bolla" che riprendeva uno scritto di Odifreddi sull'argomento (un'intervista a Whitfield Diffie).

(3) La degradazione avveniva attraverso la Selective Availability (SA) che introduceva errori intenzionali nei segnali satellitari allo scopo di ridurre l'accuratezza della rilevazione.

(4) Naturalmente l'attuale costellazione di satelliti che inviano il segnale GPS non è quella originaria.

La durata di vita di ciascun satellite si aggira sui 10 anni, dopo di che viene dismesso e deve esser sostituito.

Per maggiori informazioni in merito vedi la voce "sistema di posizionamento globale" su wikipedia.

(5) In realtà bastano 4 segnali: ognuno disegna una sfera cui centro è il satellite che lo emette.

L'intersezione di 2 sfere (segnali di due satelliti) determina una circonferenza, l'aggiunta di un segnale determina l'intersezione con una 3^ sfera e quindi l'identificazione di 2 punti lungo la circonferenza ottenuta in precedenza quali possibili posizioni del ricevitore.

E' dunque necessario un 4° segnale per individuare quale dei due punti sia quello corretto.

Perché è stato necessario prevedere altri due segnali?

La realtà non presenta mai geometrie perfette; l'orbita può subire variazioni impreviste, l'atmosfera può degradare il segnale emesso dal satellite, possono comparire interferenze elettriche.

L'aggiunta di altri due segnali permette di disegnare altre due sfere e talvota di scoprire che la posizione del "punto" ove si stima trovarsi il ricevitore cambia coordinate a seconda di come formiamo il gruppo dei 4 segnali (satellite A+B+C+D, oppure A+B+C+E, oppure A+B+C+F, ecc.).

In tal caso ci viene in aiuto il metodo statistico classico di correzione degli errori (i minimi quadrati di Gauss) permettendoci di ottenere un valore - sempre teorico - ma maggiormente accurato.

(6) Un chip assume valori -1 / +1 invece di 0 / 1 come i bit.

Fisicamente corrisponde ad un'onda quadra con ampiezza -1 oppure +1

Modulazione significa moltiplicare la stringa di dati originaria per il valore del chip in ogni istante.

Poiché gli altri dati variano molto più lentamente, troviamo talvolta una corrispondenza perfetta, altre volte un segnale che corrisponde ad un altro cambiato di segno.

Utilizzando metodi di correlazione statistica i segnali vengono fatti scorrere fino a che la correlazione risulta sufficientemente elevata.

Il GPS rifà la stessa cosa con un diverso numero pseudocasuale modulando il segnale a una velocità dieci volte maggiore: il più lento si chiama CAC (Coarse Acquisition Code) ed è quello fornito per uso civile.

Quello più veloce è chiamato PC (Precise Code) ed è riservato alle forze armate: oltre ad esser cifrato impiega 7 giorni per ripetersi.

I generatori di numeri casuali si basano su concetti di algebra astratta (ad esempio i polinomi su campi finiti) oppure su concetti di teoria dei numeri (quali l'aritmetica modulare).

Meritano menzione varianti complesse di generatori lineari sequenziali quali il "Mersenne Twister" - basato sui numeri primi di Mersenne - inventato da Makoto Matsumoto nel 1997 e presente sul foglio di calcolo Microsoft Excel.