Il ragazzo nato martedì.

Alla fine della scorsa estate sul gruppo "Meme for mathematicians" è stato pubblicato il seguente post: D: "Mary ha due figli, e ti dice che uno è maschio ed è nato di martedì: quali sono le probabilità che il secondo sia femmina?

R: "Facile, il 66,6%!"

D: "No ti sbagli, è il 51.8% ..."

La richiesta implicita era di spiegare perché la risposta corretta fosse 51.8% e non 2/3.

Il post ha sollevato un mare di commenti - così come la spiegazione che ho fornito, e che giustifica il risultato 51,85% - la maggior parte dei quali argomentava che la probabilità per un figlio di nascere maschio o femmina è del 50%, e nulla ha a che fare con il giorno della settimana.

In realtà non è così, e per capirlo dobbiamo comprendere la differenza tra due domande che, a prima vista, sembrano riferirsi a situazioni del tutto simili:

• "Mary ha un figlio maschio, quali sono le probabilità che il secondo sia femmina?"

• "Mary ha due figli, e ti dice che uno è maschio ed è nato di martedì: quali sono le probabilità che il secondo sia femmina?"

E' importante comprendere come la differenza stia tutta nell’informazione aggiuntiva che viene fornita nel secondo caso, e che contribuisce a restringere lo “spazio dei casi possibili”.

Nel primo caso la situazione è chiara: il primo figlio è maschio e la possibilità che il secondo sia di un sesso o dell'altro è indipendente dal sesso del primo. Abbiamo due sole combinazioni, ciascuna con probabilità uno su due (il 50 %):

Maschio/ Maschio Maschio/Femmina

Nel secondo caso, anche se prima vista sembra la stessa cosa, l’informazione è diversa. Non sappiamo infatti che il secondo figlio esista a prescindere: sappiamo solo che tra i due figli "c’è almeno un maschio nato di martedì", cosa che rappresenta un'informazione più specifica rispetto a “c'é almeno un maschio”. Il filtro “maschio nato martedì” riduce cioè l’insieme dei possibili casi e li pesa in modo non uniforme.

** Questa condizione favorisce certe combinazioni - ad esempio due maschi, uno di cui nato martedì - rispetto ad altre, perché è più facile soddisfarla se ci sono due maschi piuttosto che uno solo **

Il conteggio rigoroso dei casi porta infatti ad una probabilità 14/27 ≈ 52 %, leggermente superiore al 50 %.

Nel primo caso l’informazione riguarda un figlio specifico mentre nel secondo l’informazione riguarda l’insieme dei due figli con una condizione rara: “almeno un maschio nato di martedì”.

La rarità e l’ambiguità di “almeno uno” fanno sì che le famiglie con due maschi siano sovrarappresentate quando condizioniamo i dati.

Vediamo ora la soluzione che avevo proposto:

Ogni figlio può essere M (maschio) o F (femmina) e nascere in un giorno qualunque dei 7 che compongono la settimana.

Potremmo pensare dunque che le combinazioni possibili siano 14 (2 sessi × 7 giorni), e che per due figli si debba moltiplicare 14 x 14 = 196 combinazioni equiprobabili.

Ma ...

la condizione data è che “almeno un figlio è un maschio nato di martedì”, quindi bisogna escludere tutti le combinazioni in cui non ci sia un maschio nato di martedì.

Ogni figlio ha 14 − 1 = 13 possibilità che non siano “maschio-martedì”, quindi per i due figli abbiamo 13 × 13 = 169 combinazioni da escludere.

196 combinazioni equiprobabili - 169 combinazioni da escludere (nelle quali non c'è un maschio nato di martedì) = 27 combinazioni valide.

Restano da calcolare gli eventi favorevoli (“l’altro è una femmina”) da mettere al numeratore della frazione "eventi favorevoli / combinazioni valide"

Quante sono le combinazioni per cui un figlio è maschio e nato di martedì mentre l’altro figlio è femmina nata in uno qualunque dei giorni della settimana?

Ci sono due casi:

• Il primo figlio è maschio e nato di martedì mentre il secondo è femmina nata in uno qualunque dei giorni della settimana: quindi 7 combinazioni.

• Il primo figlio è femmina nata in uno qualunque dei giorni della settimana mentre il primo figlio è maschio e nato di martedì: altre 7 combinazioni.

In totale 7 + 7 = 14 eventi favorevoli da rapportare a 27 combinazioni valide:

14 / 27 = 0.518... (zero virgola 518 periodico)

Dunque la probabilità che l’altro figlio sia una ragazza è circa 52 % e non il 66,6 %

Proviamo ora ad aggiungere un'informazione:

"...e alla nascita misurava 36 cm." supponendo che:

- la lunghezza alla nascita sia indipendente dal sesso; - la probabilità di misurare esattamente 36 cm sia "P"; - il giorno di nascita sia indipendente dalla lunghezza.

e definiamo la proprietà Q = (maschio, nato di martedì, lungo 36 cm). Per ciascun figlio, la probabilità di avere la proprietà Q risulta quindi pari a:

q = 1/2 x 1/7 x P

Ripetendo esattamente il ragionamento del "martedì", ma sostituendo "maschio nato di martedì" con la proprietà più specifica Q, si ottiene: - famiglie MF o FM: probabilità circa q di soddisfare la condizione; - famiglie MM: probabilità 2q−q^2.

P (MM ∣ almeno un figlio con Q) = (2q −q^2) / (4q−q^2) = (2 - q) / (4 - q)

P (l’altro sia femmina) = 1 − (2 - q) / (4 - q)

= 2 / (4 - q)

Poiché q è molto piccolo, la combinazione "maschio + martedì + esattamente 36 cm" è rara, ragion per cui il valore 2 / (4 - q) si avvicina molto ad 1/2 (e cioè 50%).

Questo risultato mostra un fatto molto interessante: aggiungere ulteriori dettagli indipendenti e sempre più specifici non fa diminuire necessariamente la probabilità.

Nel nostro caso: - "uno è maschio" ⇒ probabilità che l'altro sia femmina = 2/3; - "uno è maschio nato di martedì" ⇒ 14/27≈51.9%; - "uno è maschio nato di martedì e lungo 36 cm" ⇒ circa 50%.

La probabilità si avvicina a 1/2, non a zero.

L'intuizione è che, man mano che la descrizione diventa estremamente specifica, stiamo quasi identificando un figlio particolare:

"Conosco un figlio preciso: è maschio, nato di martedì, lungo 36 cm..."

assomiglia sempre più a:

"Questo figlio specifico è maschio. Qual è il sesso dell'altro?"

e la risposta tende naturalmente a 1/2.

Questo problema dimostra che non conta solo l'informazione posseduta, ma anche il meccanismo con cui quella informazione seleziona i casi possibili.

Ed i commentatori non convinti della soluzione?

Il fastidio provato da chi non si arrendeva ad una soluzione che gli pareva "illogica" è ulteriore prova del fatto che il nostro cervello non si è evoluto per comprendere situazioni complesse, ma preferisca suggerirci shortcuts non sempre corretti.

Nonostante la presenza di una spiegazione articolata, oltre 110 individui, letto il post con il mio commento, non si capacitavano ancora dell'errore in cui erano incorsi ed insistevano nel proporre soluzioni alternative. Ho scorso i profili personali di alcuni di loro scoprendo - sempre che le informazioni dichiarate al social siano veritiere - che tra questi comparivano persone laureate in materie STEM.

Mi è allora tornato alla memoria quanto Gerd Gigerenzer, intervistato una decina di anni fa da William Kremer della BBC, aveva affermato: "... i medici non comprendono i risultati dei test, e questo ha conseguenze serissime per la salute dei cittadini; ma la colpa non è la loro, quanto del fatto che molti corsi di laurea non prevedono l'insegnamento della statistica ...",

argomento poi sviluppato nel suo libro pubblicato nel 2015 "Imparare a rischiare, come prendere decisioni giuste".

Prova della correttezza della sua analisi sta in questa breve esperienza col gruppo FB: senza un'adeguata istruzione matematica è facile prendere decisioni errate, pur disponendo di tutte le informazioni necessarie.

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PS:

Poiché diversi commentatori si dichiaravano matematici di professione, ho "chiesto un consulto" a Piergiorgio Odifreddi che mi ha risposto con l'email qui allegata.

Sembra che il meme proposto dal gruppo FB sia una riformulazione del "The Two Child Problem" proposto da Martin Gardner nell'ottobre 1959 in "Mathematical Games column" su Scientific American.