Le origini del gioco del lotto: è possibile guadagnare investendo in biglietti della lotteria?

Le origini del gioco del lotto si fanno risalire al curioso sistema elettorale con cui nella Genova del 1600 venivano scelti due dei governatori della città tra tutti i membri del Consiglio Minore: invece di procedere con una votazione, l'uso era quello di estrarre a sorte due foglietti da un'urna che conteneva i nomi di tutti e 120 i consiglieri.

Presto, tra il popolo, divenne una pratica diffusa quella di scommettere somme di denaro sull'esito dell'estrazione.

Non passarono molti anni che i genovesi, impazienti di piazzare nuove giocate senza attendere sei mesi tra l'una e l'altra, sostituirono i foglietti riportanti i nomi dei candidati con delle palline numerate, sfidandosi ad indovinare i primi 5 numeri che con cadenza settimanale venivano estratti a sorte.
Già a quei tempi gli importi delle vincite erano proporzionati al totale dei numeri indovinati.

Le lotterie si diffusero velocemente nel mondo occidentale, tanto che spesso furono usate per finanziare imprese sia militari che civili.   Vi fecero ricorso entrambe le fazioni durante la Guerra di Indipendenza degli Stati Uniti contro l'Inghilterra, e successivamente l'Università di Harvard per finanziare la costruzione dei due edifici che ancor oggi ospitano i dormitori degli studenti del primo anno (ci torneremo tra poco).

Un vecchio adagio recita "le lotterie sono una tassa sugli stupidi, forniscono entrate ai governi a spese degli ingenui che ne acquistano i biglietti nella vana speranza di vincere".

Adam Smith, nel suo classico "La ricchezza delle nazioni", vi dedica un intero paragrafo (1): una lotteria, sosteneva, è progettata in modo da fruttare allo stato una parte del denaro ricavato dalla vendita dei biglietti, e  tale quota deve necessariamente esser maggiore di quanto esso si trovi a doverne esborsare sotto forma di premi. 

Le conclusioni di Smith condannano senza appello chi crede sia possibile ottenere un guadagno dalle lotterie, tuttavia le sue parole creano confusione intorno ad un concetto utile per capire se convenga o meno risparmiare i soldi del biglietto per qualsiasi tipo di lotteria: si tratta del cosiddetto "valore atteso".
Trattandosi di un formalismo matematico lo metto in nota (2): chi voglia saperne di più può leggere la nota, altrimenti non è indispensabile impratichirsi di questo concetto per il seguito di questo racconto.

Contrariamente a quanto si possa pensare, i casi di vincite ripetute non sono affatto rari: vedi nota (3).

Pertanto è lecito domandarci se l'acquisto di biglietti della lotteria costituisca sempre e comunque un pessimo affare, come affermato da Smith: gli eventi raccontati qui di seguito sembrano smentirlo.

Nell'autunno del 2004 lo stato del Massachusetts lanciò una lotteria basata su nuove regole, nella speranza di recuperare l'interesse dei giocatori che iniziava a puntare verso altre forme di gioco d'azzardo (sulle quali non avrebbe potuto guadagnare direttamente).

Questa new enrty nella famiglia del lotto, battezzata con il nome frizzante di "Cash WinFall" ed il cui costo dei biglietti fu fissato a 2 dollari, prevedeva che il jackpot non aumentasse dopo ogni estrazione sino a quando qualcuno lo avrebbe azzeccato (un evento alquanto raro che aveva contribuito alla disaffezione dei giocatori); piuttosto, una volta che quest'ultimo avesse superato la cifra di 2 milioni di dollari, stabiliva dovesse entrare in azione un meccanismo denominato "roll-down" in grado di spalmarne la cifra sui premi inferiori, vinti più di frequente.

Dall'estrazione successiva a quella del "roll-down" il jackpot sarebbe ripartito da un valore iniziale di 500.000 dollari.

Non passarono neppure sei mesi che ci fu chi aveva già capito come l'investire ingenti somme di denaro in questa lotteria avrebbe costituito un ottimo affare!

Naturalmente è indispensabile sapere con quali modalità e soprattutto quando.

Infatti, fino al momento in cui il jackpot non raggiunge la soglia dei due milioni di dollari, le probabilità di vincita sono le stesse di tutte le altre lotterie, per le quali vale il ragionamento di Adam Smith.

 Tuttavia in occasione dell'estrazione durante la quale viene attivata la redistribuzione del jackpot sui premi inferiori (il "roll-down") si assite ad un effetto che capovolge le conclusioni del capostipite degli economisti:

comprando almeno un migliaio di biglietti - un investimento pari a circa 2.000 dollari -  la probabilità di ottenere vincite la cui somma superi il costo sopportato diventa davvero molto elevata.

Non vi tedierò con la dimostrazione matematica di quanto appena affermato: se ne interessati la trovate in nota (4).

Il 7 febbraio 2005 James Harvey, uno studente del MIT che stava lavorando ad un progetto volto a confrontare le caratteristiche delle diverse lotterie di stato negli USA, capì che Cash WinFall poteva costituire un'ottima fonte di reddito.
Insieme ad altri studenti iscritti al MIT, investì 2.000 dollari comprando 1000 biglietti con i quali vinse un premio singolo da 2.000 dollari insieme a diversi premi più piccoli per aver indovinato 3 numeri su 5.
In totale quel giorno portò a casa 6.000 dollari: triplicò cioè l'investimento iniziale.

Cinque mesi più tardi, il 12 luglio del 2005, l'ufficio conformità della lotteria ricevette una telefonata da un dipendente di un punto vendita che segnalò un acquisto anomalo:  uno studente del MIT aveva presentato ben 14.000 schedine della lotteria,  tutte compilate a mano come da regolamento, spendendo un importo pari a 28.000 dollari.

Successivamente altri 12 punti vendita segnalarono scommesse effettuate da singoli giocatori con importi simili.
L'ufficio conformità si affrettò a confermare come tutto quanto fosse regolare, decidendo di non procedere ad ulteriori controlli.

Harvey ed i suoi amici battezzarono il proprio team "Random Strategies", prendendo spunto dal nome del dormitorio del MIT dove avevano soggiornato: Random Hall, proprio uno dei due edifici costruiti con i soldi della lotteria organizzata dall'Università di Harvard cui ho accennato all'inizio di questo testo.

Oltre a quello di Harvey, altri due gruppi organizzati di scommettitori iniziarono ad operare nello stesso periodo:

- il "Doctor Zhang Lottery Club" che prese il nome dal suo fondatore, il dottor Ying Zhang, medico e ricercatore a Boston: acquistava biglietti per un importo totale di 300.000 dollari in occasione delle estrazioni con "roll-down".

- la "Compagnia di Gerald Selbee", un pensionato del Michgan, che riuscì a convincere ben 32 amici ad imbarcarsi nell'avventura delle scommesse.

In sostanza, in occasione di particolari estrazioni, grandi somme di denaro venivano ripartite tra pochi vincitori.

Durante le prime estrazioni, tra la fine del 2004 ed i primi mesi del 2005, furono venduti biglietti per meno di mezzo milione di dollari.   
 Neppure due anni più tardi, nel 2007, il numero di biglietti venduti in ciascuna delle estrazioni con "roll-down" (cioè quando il jackpot aveva superato i 2 milioni di dollari senza esser stato reclamato) era salito ad oltre un milione.

L'entità dell'importo così raccolto non poteva che soddisfare lo stato del Massachusetts (che ricava dalle somme giocate circa il 40%), le ricevitorie (remunerate con la percentuale del 5% sul valore dei biglietti) ed i 3 gruppi di scommettitori organizzati.

Si trattava davvero di un sistema "win-win"?

In occasione delle estrazioni con "roll-down" sarebbe potuto capitare che lo stato si trovasse a dover pagare più di quanto incassato in quella determinata occasione con la vendita dei biglietti: ma le somme da elargire erano comunque soltanto una percentuale degli incassi delle giocate precedenti, già accantonata per il jackpot.
Lo Stato ci guadagna comunque, dunque il suo obiettivo primario è incrementare le giocate (perfettamente raggiunto, come abbiamo visto).

Gli unici ad uscirne sconfitti sono stati tutti coloro che compravano i biglietti della lotteria senza far parte dei 3 gruppi: si trattava di giocatori, occasionali o abitudinari, sprovvisti di quel "know how" matematico che ha permesso ad Harvey, Zhang, Selbee ed i loro amici di macinare profitti.

Da questa breve storia possiamo ricavare un importante insegnamento, che può esser esteso anche ad altri ambiti (economia, politica, ecc.):  l'importanza di dotarsi di una profonda conoscenza realtiva al terreno su cui si vuole giocare.

Usando le parole di Gigerenzer, ci troviamo in questo contesto nel "territorio del rischio", non in "quello dell'incertezza".
Qui tutte le variabili sono note in anticipo, e possiamo pertanto applicare la teoria della probabilità alle strategie che decidiamo di mettere in campo: il modello è deterministico, dunque dovrebbe esser semplice "decidere per il meglio".

Tuttavia, quando si ha a che fare con la teoria della probabilità, spesso accade che i risultati siano controintuitivi: ho già trattato sul mio blog di due esempi di questo genere, il "paradosso del compleanno" ed il "problema delle 3 porte di Monthy Hall".
Questo fatto comporta che talora ci si incapponisca su scelte - che in buona fede crediamo dettate dal buon senso e dalla razionalità - destinate invece a rivelarsi profondamente errate e prodighe di conseguenze nefaste.

EPILOGO.

Chi mi ha seguito sin qui si chiederà naturalmente come è finita.
Il "giochino", pur essendo perfettamente legale, ebbe una fine che vi racconterò in un prossimo post.

Quanto guadagnò il suo astuto inventore James Harvey? Divennero tutti milionari?
Abbiamo alcune stime dell'ispettorato generale sui ricavi al lordo delle tasse accumulati dai 3 gruppi nei 7 anni di vita di Cash WinnFall, tuttavia non possiamo esser certi di quanto ciascun membro abbia ricavato.

Riguardo ad Harvey sappiamo con sicurezza che alla fine poté permettersi l'acquisto di un'auto nuova:
una Nissan Altima usata del 1999.

A breve - ma solo se ne siete davvero interessati! - un nuovo post con il racconto e l'analisi del "dark side": e cioè quali sono state le conseguenze, banali, delle giocate che in un certo senso non erano state previste.

Note:

(1) dell'opera citata vedi il libro I, capitolo X intitolato "Dei salari e dei profitti nei diversi impieghi del lavoro e dei fondi".


(2) il "valore atteso" è una misura utile a risolvere interrogativi non banali quali il seguente:
"avete comprato alcuni biglietti della lotteria spendendo un dollaro ciascuno ed un tizio vi offre di ricomprarli per 1,20 dollari; vi conviene accettare?"

Vediamo come si calcola con un modello semplificato.

Una lotteria prevede la vendita di 100.000 biglietti, uno solo dei quali risulterà vincente.
Ogni biglietto costa un dollaro, ed il montepremi è pari a 60.000 dollari (i 40.000 di differenza servono a coprire i costi di gestione, i biglietti eventualmente invenduti e naturalmente il profitto dell'organizzatore).
Se un giocatore compra tutti i biglietti vince la lotteria ma perde sicuramente 40.000 dollari (avendone investiti 100.000 per vincerne 60.000): se tuttavia ne comprerà "di meno", l'entità della perdita mano a mano si riduce (ed aumenta il rischio di non vincere).
Se compra un solo biglietto avrà speso solo un dollaro ma le probabilità di vincere saranno molto piccole (1/100.000); comprandone "di più" le probabilità di vincere cresceranno man mano.

Dove sta l'equilibrio e la convenienza?

Il "valore atteso" si calcola moltiplicando, per ogni esito possibile, la probabilità di quell'esito per il valore del biglietto dato quell'esito (cioè quanto vince), e poi si sommano i singoli risultati ottenuti.

Nel nostro esempio ci sono solo 2 possibilità: o vinciamo (1 possibilità su 100.000) oppure perdiamo (99.999 possibilità su 100.000)

Pertanto si procede così:

99.999 / 100.000 x zero (valore del biglietto perdente) = 0 dollari
1 / 100.000 x 60.000 $ = 0,60 dollari

Sommando le due righe:  0 + 0,60 = 0,60 dollari, cioè il valore atteso del nostro biglietto è 60 centesimi.
Pagarlo un dollaro non è stato conveniente.
 

(3) Ci sono stati diversi casi di persone che, giocando ad una lotteria, hanno vinto più di una volta somme ingenti: improbabile non significa impossibile, tutto dipende dalla frequenza!

Ecco un caso tratto dal saggio di Joseph Mazur in "Travolti dal caso", 2017 (pg 34-35;  138-140).

Joan Ginther, professoressa di matematica in Texas, ha vinto in meno di 20 anni con le lotterie istantanee complessivamente 13 milioni di dollari:  3.3 milioni nel 1993, 1.4 milioni nel 2006, 2.0 milioni nel 2008 ed infine 6.2 milioni nel 2011.

In molti pensano che ci sia stata sotto una truffa: qualcuno ha calcolato che la probabilità totalizzare 4 vincite (come ha fatto Joan) sia pari ad 1 su 1,8 x10^24.
Un evento raro, tuttavia gli eventi rari sono destinati ad accadere per puro caso.
Una singola persona che vinca 4 volte comprando abitualmente biglietti della lotteria è sicuramente un evento raro.
Mentre non è affatto raro che "qualcuno" vinca: in genere capita che più persone vincano premi diversi ad ogni estrazione.

La popolazione degli USA ammonta a 320 milioni di individui, dei quali una quota significativa è costituita da giocatori abituali. Sul territorio operano 26 grandi lotterie in grado di raccolgliere 70 miliardi di dollari in biglietti venduti.
Considerano queste cifre, ecco che una quadruplice vincita sembra destinata ad accadere nel corso di un numero di anni non eccessivo.
E' infatti stata calcolata (da Samuels & McCabe, Purdue University) una probabilità superiore al 50% che negli USA una persona vinca una somma importante due volte in 7 anni,.


(4) Ecco la spiegazione matematica:

senza redistribuzione del jackpot:
6 numeri azzeccati - 1 su 9,3 milioni - jackpot variabile
5 numeri azzeccati - 1 su 39.000       - 4000 $
4 numeri azzeccati - 1 su 800             - 150 $
3 numeri azzeccati - 1 su 47                - 5 $
2 numeri azzeccati - 1 su 6,8               - un biglietto della lotteria in omaggio

Per un jackpot pari ad un milione di dollari il valore atteso per un biglietto da 2 dollari è pari a:
(1 milione di $ / 9.3 milioni) + (4000 $ / 39.000) + (150 $ / 800) + 5 $ / 47) + (2 $ / 6,8) = 79,8 cents
Cioè investire 2 dollari nella speranza di guadagnare meno della metà.

Il 7 febbraio 2005 ci furono 470.000 giocate ed il jackpot sfiorò i 3 milioni di euro.
Nessuno azzeccò i 6 numeri così sui premi minori vennero spalmati:
600.000 da dividere tra chi avesse indovinato 5 numeri o 3 numeri
1,4 milioni di dollari da dividere tra chi avesse indovinato 4 numeri.

Vediamo dallo schema iniziale che le probabilità di azzeccare 4 numeri su 6 sono 1/800, quindi su 470.000 giocatori diciamo che circa 600 giocatori (587,5 per i pignoli!) si sono divisi il premio di 1,4 milioni di dollari:
2380 dollari di vincita contro un investimento di 2 dollari
Si tratta di un valore atteso paria a 2380 $ / 800 = 2,98 dollari

Proviamo ora ad aggiungere gli altri premi:
5 numeri azzeccati - 1 su 39.000  - numero atteso di vincitori 12 - somma allocata 600.000 $ - premio per vincitore 50.000 $
4 numeri azzeccati - 1 su 800       - numero atteso di vincitori 587 - somma allocata 1,4 milioni $ - premio per vincitore 2380 $
3 numeri azzeccati - 1 su 47          - numero atteso di vincitori 10.000 - somma allocata 600.000 $ - premio per vincitore 60 $

Quindi il biglietto medio frutta una vincita di:

50.000 $ / 39.000 + 2380 $ / 800 + 60 $ / 47 = 5,53 $

Cioè un investimento di 2 $ ne frutta in media 5,53.

Un singolo biglietto ha pochissime probabilità di vincere qualcosa, ma comprandone 1000 la probabilità di vincere più dell'investimento nel loro acquisto è molto alta.

Fonti:

"I numeri non sbagliano mai, il potere del pensiero matematico" Jordan Ellenberg 2015

"Travolti dal caso" Joseph Mazur, 2017

https://en.wikipedia.org/wiki/Massachusetts_Lottery

https://www.huffpost.com/entry/massachusetts-cash-winfall-lottery_n_1729416

https://www.dailymail.co.uk/femail/article-2025069/Joan-Ginther-Maths-professor-hits-multi-million-scratchcard-lottery-jackpot-4-times.html