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lunedì 3 febbraio 2020

Quanto sono rari i numeri palindromi? Una bufala ci permette di fare chiarezza sulla frequenza dei numeri palindromi espressi in diverse basi.


Domenica 2 febbraio 2020 (che possiamo scrivere 02.02.2020) imperversavano sui socials posts di questo tenore: 
“02/02/2020, una data palindroma: si tratta di un evento rarissimo che non si verifica da innumerevoli anni!".
Sono sicuro che pochi si saranno chiesti se tale informazione sia corretta, ed ancora meno coloro che avranno provato a verificarla.

Un numero palindromo si può leggere indifferentemente da sinistra a destra o viceversa: 1345431 ad esempio, o 785587 nel caso di un numero di cifre pari.
Esistono numeri palindromi in ogni base: ad esempio lo è il numero binario 1001 (che corrisponde a 2^3+1=9 espresso in notazione decimale).

Una data è considerata palindroma quando la si può trasformare in un numero con 8 cifre – le prime due sono il giorno del mese, la terza e la quarta sono il mese dell’anno, le ultime quattro l’anno stesso – che risulti palindromo nel senso indicato.
Ad esempio il 2 febbraio 2020 si può indicare come 02-02-2020 dalla cui notazione si ricava il numero palindromo 02022020.

Poiché il numero totale di giorni in un mese varia da 28 a 31 (a seconda del mese e se l’anno sia bisestile o meno) ed i mesi sono soltanto 12, le date palindrome sono un sottoinsieme limitato dei numeri palindromi, ma tutt’altro che rare; eccone alcuni esempi:
 
01100110 il 1^ ottobre del 110
02100120 il 2 ottobre del 120
01011010 il 1^ gennaio 1010
10011001 il 10 gennaio 1001
.. e così molti altri.

Solo nei primi 20 anni del secolo corrente abbiamo festeggiato ben 6 date palindrome:




E ne festeggeremo ancora una il prossimo anno (il 12.02.2021) e l'anno successivo (il 22.02.2022).

Lasciamo ora perdere le date per un quesito più interessante riguardante la frequenza dei numeri palindromi: sia in base decimale (tipo 121, 19833891) che in altre basi (ad esempio sono numeri palindromi binari i seguenti: 101, 111, 101101101).

Sembrerebbe siano più frequenti numeri palindromi scritti in notazione binaria (composti soltanto da 0 ed 1) rispetto a quelli espressi in altre basi (dove le combinazioni sono più numerose), ma è proprio così?
Proviamo a verificarlo.

Per prima cosa definiamo il significato dei termini che userò in seguito:
a) con “numero posizioni“ intendo quanti spazi sono necessari a scrivere un numero:
10, 38 e 99 occupano tutti due posizioni, mentre 12390 e 11010 ne occupano entrambi 5.



numerazione a base binaria (0 e 1 soltanto)   
2 posizioni    3 posizioni 
      10                 110         numeri non palindromi
      11                 101         numeri palindromi



numerazione a base decimale (da 0 a 9)
2 posizioni    3 posizioni
   43                 280          numeri non palindromi
   44                 454          numeri palindromi

totale numeri binari che possono esser scritti in 2 posizioni: 2  (10 e 11)
totale numeri binari che possono esser scritti in 3 posizioni: 4  (100, 101, 110 e 111)
totale numeri decimali che possono esser scritti in 2 posizioni: 90 (da 10 a 99)
totale numeri decimali che possono esser scritti in 3 posizioni: 900 (da 100 a 999)

Conteggiare la frequenza dei numeri palindromi in base binaria che occupano da 2 sino a 9 posizioni ha richiesto l'osservazione di 511 numeri binari.
Trovato il numero di palindromi corrispondenti a ciascun numero di posizioni da 2 a 9, e rapportatolo al totale dei numeri per ciascuna, ho ottenuto la seguente serie:
1/2 (2 posizioni), 1/2 (3 posizioni), 1/4 (4 posizioni), 1/4 (5 posizioni), 1/8 (6 posizioni), 1/8 (7 posizioni), 1/16 (8 posizioni), 1/16 (9 posizioni).
Cioè i palindromi tra i numeri binari che si possono scrivere in due posizioni sono la metà del totale, e lo stesso rapporto vale se consideriamo i numeri binari che si possono scrivere in 3 posizioni. Se passiamo ai numeri che si possono scrivere in 4 ed in 5 posizioni, il rapporto si dimezza: da ½ ad ¼ ; e così via.
Ad ogni aumento di 2 posizioni, la frequenza dei palindromi binari sul totale dei numeri si dimezza. 
"partendo da 2 posizioni, dove osserviamo il 50% di numeri palindromi sul totale, abbiamo un dimezzamento della loro frequenza ogni volta che si aggiungono 2 posizioni".

Volendo verificare cosa succeda se prendiamo in esame numeri decimali, ci scontriamo subito con un aumento enorme dei numeri da esaminare nella ricerca dei palindromi all'aumentare del numero di posizioni.
Trattare numeri a base 11 richiede l'analisi di insiemi di numeri ancora più grandi di quelli necessari per i decimali; pertanto ho deciso di verificare cosa succeda nei sistemi a base intermedia: da 3 (sistema terziario) fino al 9 (sistema novenario).

Usando un foglio di excel ho creato una tabella con 1024 righe le cui colonne sono costituite dalle numerazioni nelle basi da 2 fino a 10.
Ho così potuto verificare che uno schema delle frequenze simile a quello rilevato per i palindromi binari (diminuzione dei valori percentuali delle frequenze di numeri palindromi ogni volta che aumenta di due unità il numero delle posizioni) lo si ritrova in tutte le numerazioni, anche se ad un "ritmo" diverso.

Ho ricavato - per ogni numero di posizioni - il totale dei numeri che sia possibile scriverci all'interno in una determinata base (con due posizioni, nel caso del sistema decimale possiamo scrivere i numeri da 10 a 99, e cioè 90 numeri);

ecco la formula utilizzata:


   (base del sistema numerico ^ numero di posizioni) - [base del sistema numerico ^ (numero di posizioni - 1) ]

che si può scrivere sinteticamente come:      

                                                               B ^ N - B ^ (N - 1)


Ho poi contato quanti numeri palindromi si trovino per ogni numero di posizioni in ogni tipo di numerazione.
Rapportando infine questo numero sul valore calcolato B ^ N - B ^ (N - 1) ottengo la frequenza (dato un numero di posizioni, calcolo la percentuale di numeri palindromi sul totale dei numeri che si possono scrivere in quelle posizioni) .
Dal risultato ottenuto empiricamente (vedi immagine in fondo al testo) ho ricavato la seguente formula che mi restituisce, per un sistema numerico a base B, la percentuale di palindromi P sul totale dei numeri che si possono scrivere in N posizioni:


                                                                        1                                    
P =   -------------------------------------------------------------------------  
         base del sistema numerico ^ | numero di posizioni / 2 |


scritto in maniera più sintetica:  

                                                                1
                                     P =   ------------
                                              B ^ |N/2|


dove con |N/2| si intende solo la parte intera del risultato della divisione.


Difficile? No!!!!!!!

Mettiamolo in pratica:



caso 1quanti numeri binari palindromi ci sono tra i numeri binari che si possono scrivere in 7 posizioni (tipo "1011011" per intenderci)?

R:   7:2 = 3,5   prendiamo il 3 (la parte intera del risultato) e lo utilizziamo come esponente della base della numerazione binaria, che è 2

       2^3 = 8     e lo mettiamo come denominatore della nostra frazione cui numeratore abbiamo detto essere l'unità:

       1/8    un ottavo è dunque la frequenza dei numeri palindromi binari che si possono scrivere in 7 posizioni.


caso 2: quanti numeri ottali palindromi ci sono tra i numeri che si possono scrivere in 4 posizioni (tipo "5821" per intenderci)?

R:      4:2 = 2  cioè prendiamo il numero di posizioni e lo dividiamo per due, ed il risultato lo usiamo come esponente della base 8

           8^2 = 64   usiamo il numero ottenuto come denominatore della frazione che ha l'unità al numeratore: 

           1/64   è il risultato


caso 3: quanti numeri esadecimali palindromi ci sono tra i numeri che si possono scrivere in 3 posizioni (tipo "5F8" per intenderci)?
R:       3:2 = 1,5   prendiamo 1 (la parte intera) e lo usiamo come esponente della base 16

           16^1 = 16   usiamo il numero ottenuto come denominatore della frazione che ha l'unità al numeratore: 

            1/16   è il risultato


L'altra domanda che mi ero posto riguardava la frequenza dei numeri palindromi nelle diverse basi indipendentemente dal numero di posizioni: nei primi 1000 numeri ci sono più palindromi nella numerazione a base binaria od in quella a base decimale?

Per comodità di calcolo consideriamo i primi 1024 numeri (2^10) e vediamo quanti palindromi binari e quanti decimali ci sono nell'intervallo.

I palindromi binari nei primi 1024 numeri sono 93; quelli decimali sono 90 fino a "999" cui dobbiamo aggiungere il "1001", dunque in totale sono 90+1=91.

La differenza con i binari non è grande (91 su 93) a lieve vantaggio dei binari.




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