La scorsa settimana, su un gruppo Facebook, è stata posta una domanda relativa alla sincronizzazione di due orologi che, alla stessa distanza dal Sole, percorrono orbite i cui piani si intersecano con un angolo di 90°. (1) Il quesito ha suscitato in me una curiosità per una situazione diversa ma concettualmente affine.
Immaginiamo di avere due orologi perfettamente sincronizzati: uno si trova sulla superficie di un pianeta e lo accompagna nel suo moto orbitale attorno alla sua stella. Il secondo viene mantenuto fermo rispetto alla stella, alla stessa distanza orbitale, ma senza seguire il moto del pianeta.
Dopo che il pianeta abbia completato una rivoluzione, ed i due orologi si ritrovino nuovamente vicini, quale dei due segnerà meno tempo trascorso? (2)
All’inizio del XX secolo, Albert Einstein, con la Relatività Ristretta e la Relatività Generale, ha mostrato che questa visione è incompleta: ogni orologio misura il proprio tempo proprio che dipende dal percorso seguito nello spazio-tempo. Due effetti fondamentali entrano in gioco, ed entrambi provocano una dilatazione temporale (rallenta il tempo): il moto relativo ed il campo gravitazionale.
Questi effetti non sono separati, sono manifestazioni di un’unica struttura geometrica.
La Terra orbita attorno al Sole a circa 30 km/s, e questo moto comporta una dilatazione temporale: il tempo misurato dall’orologio terrestre scorre leggermente più lentamente, un effetto piccolo ma reale pari a circa 0,4 millisecondi all’anno.
Dal punto di vista gravitazionale, i due orologi si trovano alla stessa distanza dal Sole, quindi sperimentano lo stesso campo gravitazionale: questo contributo è identico per entrambi e non influisce sulla differenza.
L’orologio “fermo rispetto al Sole”, tuttavia, non è in caduta libera: deve esercitare continuamente una forza per mantenere la sua posizione (è cioè accelerato).
Secondo il principio di equivalenza espresso nella Relatività Generale, questa situazione è localmente equivalente a trovarsi in un campo gravitazionale che tende a rallentare il tempo. Tuttavia, ciò non introduce un effetto dominante aggiuntivo: il confronto corretto deve considerare l’intera traiettoria nello spazio-tempo.
Tenendo conto di tutti gli effetti, l’orologio sulla Terra accumula meno tempo e rimane indietro rispetto a quello fermo rispetto al Sole.
Questo risultato può sembrare controintuitivo: l’orologio che accelera continuamente non è quello che invecchia meno.
La spiegazione è geometrica: in relatività, il tempo proprio è la “lunghezza” della traiettoria (linea di universo) nello spazio-tempo.
Non conta semplicemente chi acceleri o chi sia inerziale quanto piuttosto quale percorso venga seguito.
Questo è lo stesso principio alla base del paradosso dei gemelli.
Questi effetti non sono teorici: sono stati verificati con grande precisione, ad esempio con orologi atomici imbarcati su aerei, su satelliti artificiali e nei sistemi come il GPS. (3)
Tuttavia la mia curiosità non riguarda soltanto pianeti come la Terra e stelle come il nostro Sole; cosa succederebbe ad una coppia di orologi posti in contesti profondamente diversi, dove gravità e velocità orbitali raggiungono valori estremi?
Possiamo spingerci oltre e considerare una situazione estrema, come quella descritta nel film Interstellar, basato su calcoli di Kip Thorne.
Il pianeta di Miller orbita vicino al buco nero Gargantua, la cui massa è di circa 100 milioni di masse solari e la cui rotazione è prossima al limite massimo.
Qui la dilatazione temporale è estrema, il tempo di un'ora misurata da orologi posti sul pianeta corrisponde a circa 7 anni misurati da orologi posti lontano dal buco nero.
Consideriamo di nuovo due orologi, uno posto sul pianeta di Miller (che dunque ne segue l'orbita) ed uno mantenuto fermo alla stessa distanza dal buco nero.
Entrambi risultano fortemente rallentati rispetto ad un osservatore lontano, ma in modo diverso:
l’orologio fermo deve esercitare una spinta enorme, si trova in una condizione estremamente “innaturale” e dunque il suo tempo scorre lentissimo;
l’orologio sul pianeta invece si muove a velocità relativistiche - una frazione significativa della velocità della luce (4) - ma, seguendo una traiettoria prossima ad una geodetica, accumula più tempo proprio.
A differenza di quanto succede nel Sistema Solare, è l’orologio fermo vicino al buco nero che rimane indietro.
Una stima plausibile indica che l’orologio sul pianeta può scorrere circa 1,5 / 2 volte più velocemente rispetto a quello statico. (5)
In termini intuitivi, se sul pianeta trascorre un’ora l’orologio statico potrebbe registrarne solo una frazione sensibilmente minore, dell’ordine di alcune decine di minuti.
Gargantua è infatti un buco nero di Kerr e la sua rapidissima rotazione produce effetti quali il trascinamento dello spazio-tempo circostante (frame dragging), la possibilità di orbite stabili molto vicine all’orizzonte (ISCO) e condizioni in cui il muoversi “nel verso giusto” riduce la dilatazione temporale.
Un oggetto in orbita può quindi “assecondare” lo spazio-tempo mentre uno statico si oppone ad esso.
Il confronto tra i due scenari mostra un fatto profondo: nel Sistema Solare domina l’effetto della velocità, là dove invece vicino ad un buco nero domina la geometria dello spazio-tempo.
La misura del tempo non dipende quindi semplicemente da moto o accelerazione, quanto piuttosto dal percorso seguito nello spazio-tempo: le traiettorie libere (geodetiche) tendono ad accumulare più tempo proprio rispetto a quelle forzate.
Note:
(1) Si tratta del post “sul paradosso dei gemelli, ancora ... “ scritto da Riccardo de Marco sul gruppo Video di Fisica.
L'autore chiede cosa succeda a due orologi imbarcati su satelliti che, alla stessa distanza dal Sole, percorrano orbite i cui piani si intersecano con un angolo di 90^.
La risposta corretta (vedi il mio commento al post) è che gli orologi rimangono sincronizzati in quanto velocità orbitale e distanza dalla massa della stella sono identici.
(2) Cioè quale dei due avrà accumulato più ritardo?
(3) Per un utilizzo proficuo del segnale GPS, i ritardi temporali dovuti sia alla velocità che alla gravità devono essere corretti con estrema precisione, altrimenti gli errori crescerebbero rapidamente.
(4) Il pianeta di Miller completa in un'ora un'orbita la cui circonferenza coincide all'incirca con quella dell'orbita terrestre (un miliardo di km).
(5) Si tratta di un valore indicativo, dipendente dai dettagli della rotazione del buco nero.
Nessun commento:
Posta un commento